05. Regularization

목차

저번 포스트에서는 지도학습의 Linear Regression모델과 Logistic Regression 모델을 배웠다.

이번에는 h함수를 더 자세히 알아보도록 하자.😀

1.  Overfitting Problem

가장 왼쪽 그래프의 경우,  h함수(가설 함수)를 θ에 대한 1차 방정식으로 정의 ➡ 데이터의 예측이 일치하지 않는다.

일반적으로 너무 단순하거나 너무 적은 기능을 사용하는 기능 때문에 발생한다.

이러한 경우를 Underfit 또는 High Bias라 한다.

 

가장 오른쪽 그래프의 경우, h함수를 다차원방정식으로 정의 ➡ 각각의 데이터 결과 값을 만족하는 형태를 띈다고 할 수 있다.

training data set에서는 최적화가 잘 되었다고 생각할 수 있지만 새로운 data에 대한 정확도는 장담할 수 없다.

즉, 너무 샘플데이터에 과하게 최적화되어있어 일반화하기 어렵다고 할 수 있다.

이러한 경우를 Overfit 또는 High variance라 한다.

 

이제 가운데 그래프를 보도록 하자. 

h 함수를 2차 방정식으로 정의하여 dataset에 적합하면서 feature간의 관계를 잘 나타내고 있다.

이러한 경우를 Just Right라고 하며, 최적화가 적절히 되었다고 할 수 있다.

 

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이제 Logistic Regression의 예를 보도록 하자.

Linear Regression의 overfitting을 이해했다면 똑같은 로직으로 이해가 가능하다.

더 많은 feature를 삽입 할수록, training data set에 잘 fit 이 된다.
하지만 새로운 데이터가 입력되었을 때 회귀 또는 분류모델에서 오차가 발생할 가능성이 매우 크다. 
이와 같이 training data에 지나치게 fit 되어 일반적인 추세를 표현하지 못하는 문제를 overfitting이라 한다.

 

여기, overfitting을 해결하기 위한 방법이 있다.

 

1. feature의 수 줄이기

• 중요한 feature만 남기기
• model selection algorithm(모델이 빼야 하는 feature 알려준다.)

2. regularization(정규화)

• 모든 feature는 유지하되, parameter θ의 규모(magnitude) 줄이기

 

 

2.  Cost Function

정규화의 개념을 알기 위해서 cost function의 설명이 필요하다. 

 

그림의 오른쪽 그래프는 Linear Regressino에서 과적합이 된 예시이다.

이때, θ3, θ4에 각각 1000을 곱한 cost function을 사용한다고 가정해보자. 이 cost function은 θ의 가장 작은 값을 구하기 때문에 parameter(θ3,θ4)의 값은 거의 0에 가까운 값이 될 것이다. 

결국, h 함수에서 뒤에 2개 항이 0에 근접하므로 2차 방정식으로 생각할 수 있다. 

 

n개의 parameters에서  일부 parameter를 (0에 근사한)작은 값으로 만들어 h 함수가 심플해지도록 한다.
이 방법을 overfitting을 적게 발생시킬 수 있는 정규화라고 한다.

 

3.  Regularization

 

이를 공식으로 표현하면 cost function에 regulation식을 추가하여 J함수로 만들 수 있다. 

위의 식에서 λ(lambda)를 regularization parameter이라 한다.  λ는 cost function가 잘 적용이 될수 있도록 조절한다.

** λ가 너무 큰 경우에는 θ의 parameter 값이 전부 0이 되어 underfitting하는 결과를 초래한다. 

 

 

 

4.  Regularized Linear Regression

이제 linear regression과 logistic regression에 regularize를 적용해보자.

Linear regression의 최적 $ \theta $parameter를 찾는 방법은 gradient descent와 normal equation, 2가지 방법이 있다.

 

Gradient Descent

앞에서 cost function에 $ {\lambda} $ 항을 추가하여 정규화된 cost function을 만들었다.  이제 gradient descent 공식에 적용해 보자.

$ \theta_{0} $는 정규화되지 않았으므로, 식을 분리하도록 주의해야 한다. 

 



식을 하나로 표현하면 다음과 같다.

이 식에서 흥미로운 점은 항상 $ 1 - \alpha \lambda / m < 1$이다. 그래서 $ \theta_{j} $가 update 할 때마다 줄어든다.

오른쪽 항은 기존의 linear regression의 gradient descent와 똑같다.

 

Normal Equation

X matrix는 m x (n+1)의 크기를 가진다. Normal equation에 regularize를 적용하려면 $ X^{T}X $항 뒤에 $ \lambda L $을 더한다. 

이 때 L matrix는 첫번째 값만 0인 identity matrix이다. [차원은 (n+1) x (n+1)]

 

 

m < n이면, $ X^{T}X $는 non-invertible, singular이다. 

하지만  정규화를 해주면,  $ X^{T}X + \lambda*L $은 invertible 해진다.

 

 

 

5.  Regularized Logistic Regression

Logistic regression에서 regularize를 하는 방식을 알아보도록 하자.

[위에 식도 내가 정리하기 ] https://wikidocs.net/4331 처럼 깔끔하게!!!

Regularized 된 cost function은 그림의 아래 $ J(\theta) $ 과 같다. 기존 cost function에 $ \lambda $ 항이 추가되었다. 

$ theta_{0} $를 정규화하지 않은 것에 주의해야 한다.

 

이를 gradient descent 에 적용하면, 

마찬가지로 $ \theta_{0} $는 정규화되지 않았으므로, 식을 분리한다.

이 공식은 regularized linear regression의  gradient descent와 식이 같지만 $h$ 함수가 달라 다른 함수이다. 

 

위의 식을 간단하게 정리하면 다음과 같다.

 

 

 

깔끔하게 식 정리!!1

 

+ 참고 자료

https://towardsdatascience.com/regularization-an-important-concept-in-machine-learning-5891628907ea

REGULARIZATION: An important concept in Machine Learning

https://wikidocs.net/4329

1) Cost Function