⚡ Li-ion 배터리의 electrochemical model 분석 ⚡

 

다음은 24년도 2학기 배터리 강의를 들으며 작성한 레포트이다. 

 

Li-ion 배터리의 electrochemical model 중 DFN, SPMe, SPM을 중점적으로 각 모델의 수식에 대해 서술하였으며, 각 모델의 computational cost와 accuracy의 trade-off 를 중점적으로 조사하였다.

 

 

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Abstract

본 보고서는 리튬이온 배터리의 electrochemical 모델에서 중요한 역할을 하는 DFN(Doyle-Fuller-Newman)과 DFN의 simplified model인 SPMe(Single Particle Model with Electrolyte), SPM(Single Particle Model)에서 사용되는 주요 개념과 특성을 중심으로 서술합니다. 특히 DFN, SPMe, SPM 모델 간의 관계를 중점적 으로 분석하며, 각 모델의 강점 및 약점, computational complexity와 accuracy의 trade-off에 대해 정리합니다.

 

 

1.  Introduction 

본 보고서는 리튬이온 배터리(Li-ion battery)의 물리 기반 electrochemical 모델을 비교하고, 각 모델들의 특징이 accuracy와 computational complexity에 미치는 영향을 분석합니다. 현재 Li-ion 배터리 성능 예측 시뮬레이션에 주로 사용되는 대표적인 모델은 Doyle-Fuller-Newman(DFN) 모 델로, 높은 accuracy를 제공하지만 computational cost가 크고 복잡합니다. 복잡한 computational cost를 해결하기 위해 Single Particle Model with Electrolyte(SPMe)와 Single Particle Model(SPM) 과 같은 간소화 모델들이 개발되었으며, 이 simplified model은 더욱 빠른 계산 속도를 제공합니다[1]. 본 보고서는 다양한 전류 조건에서 DFN 모델과 simplified model들의 시뮬레이션 실험 그래프 분석을 통해 accuracy와 computational complexity를 평가합니다.

 

본 보고서의 Section 2에서는 electrochemical 모델인 DFN, SPMe, SPM 각각의 개요와 특징을 소개합니다. Section 3에서는 electrochemical models 간의 관계를 실제 실험 결과 분석과 함께 computational complexity와 accuracy의 trade-off 측면에서 다룹니다. Section 4에서는 Section 3 에서 분석한 내용을 기반으로, 실제 응용 시 모델 선택 기준을 제시합니다. Section 5에서는 본 보고서의 결론을 서술합니다.

 

 

 

2.  Electrochemical models의 개요 및 특성 

리튬이온 배터리의 electrochemical model은 배터리 내부에서 발생하는 물리적 및 화학적 반응 을 수학적으로 표현한 모델입니다. 이 모델은 배터리 설계와 성능 예측, 그리고 효율적인 제어의 기반이 됩니다. 이러한 전기화학 모델들은 배터리 성능 최적화와 상태 예측(state estimation) 분야 에서 모델 기반 시뮬레이션에 널리 활용되고 있습니다. 본 Section에서는 대표적인 electrochemical models인 Doyle-Fuller-Newman(DFN) 모델, Single Particle Model with Electrolyte(SPMe), 그리고 Single Particle Model(SPM)의 주요 개념과 특성을 체계적으로 정리하여 설명합니다.

 

 

2.1.  Doyle-Fuller-Newman(DFN) model

DFN 모델은 리튬이온 배터리 내부의 전기화학적 반응 및 물질 전달 과정을 정교하게 설명하 는 대표적인 electrochemical model입니다. 이 모델은 Lithium-ion diffusion-migration, Electronic conduction, Lithium diffusion 등 배터리 내부 에너지 선속(flux)을 수학적으로 표현합니다. 다변 수 결합 2차 비선형 편미분 방정식(PDEs)을 사용하여 배터리 내부의 전기화학반응을 묘사하기 때문에 복잡한 수치해석을 필요로 하고, 그에 따라 computational cost가 높다는 특징을 가지고 있습니다[2].

 

 

Fick’s law를 사용해 다공성 전극과 전해질 내 이온 및 전자 전달을 모델링하고, Butler-Volmer 방정식으로 전극과 전해질 사이에서의 반응 속도를 모델링 합니다.

 

DFN 모델의 높은 정확도는 배터리 설계 및 성능 예측에서 중요한 이점으로 작용합니다. 그러 나 이러한 정확성을 위해 요구되는 높은 계산 복잡성으로 인해 실시간 응용에서는 실현 가능성이 낮은 경우가 많습니다. 이에 따라 DFN 모델의 계산 부담을 줄이고 간소화된 구조를 갖춘 SPMe(Single Particle Model with Electrolyte) 및 SPM(Single Particle Model)과 같은 단순화된 모델들이 개발되었습니다. 이러한 간소화된 모델들은 DFN의 고차원 체계를 단순화하여, 배터리 내부의 핵심적인 동작을 보존하면서도 정확도와 계산 복잡도 사이의 trade-off를 최적화합니다.

 

 

2.2.  Single Particle Model with Electrolyte(SPMe)

SPMe는 DFN 모델의 계산 복잡도를 줄이고 효율성을 높이기 위해 제안된 모델입니다[4,5]. SPMe는 전극 내 모든 지점에서 전위와 농도가 동일하다고 가정하여, 각 전극을 단일한 구형 다 공성 입자(single spherical porous particle)로 단순화합니다.

 

SPMe의 주요 특징은 다음과 같습니다.

1. Linearization: DFN에서 비선형 방정식으로 표현되던 전극 내 물리적 특성이 SPMe 에서는 선형 방정식으로 표현됩니다. 이는 계산 복잡도를 크게 줄이며, 비교적 빠른 시 뮬레이션이 가능하게 합니다.
2. 물리적 특성 보존: 주요 전기화학적 현상(예: 리튬 이온 확산 및 이동, 전위 차이)은 DFN 에 비해 단순화되었지만 여전히 충분한 수준의 정확도를 유지합니다.

SPMe는 고속 연산이 필요하거나 DFN의 높은 복잡도를 처리하기 어려운 응용에서 유용하게 사용됩니다.

 

 

2.3.  Single Particle Model

SPM은 SPMe 모델보다 한 단계 더 단순화된 모델로, 전극과 전해질 내 모든 영역에서 전위와 농도가 균질하다고 가정합니다[6]. SPM은 배터리의 각 전극과 전해질을 균일한 단일 구형 다공성 입자(single spherical porous particle)로 모델링합니다.

 

SPM의 주요 특징은 다음과 같습니다.

1. 극대화된 계산 효율: SPM은 가장 단순한 방정식을 사용하여, SPMe보다 더 낮은 계산 복잡도를 갖습니다. 따라서 실시간 제어와 같이 매우 빠른 계산이 요구되는 시스템에서 적합합니다.
2. 정확성 감소: 계산 효율의 대가로, 높은 충전/방전 속도(C-rate)에서는 리튬 이온 농도와 전압 분포를 정확하게 표현하지 못해 DFN과 SPMe에 비해 정확성이 낮아질 수 있습니다.

 

아래의 Figure 2은 DFN, SPMe, SPM 모델을 도식화하였습니다[7].

 

 

3.  Electrochemical models의 관계

 

Figure 3는 배터리 모델에서 사용되는 geometric, transport, kinetic, concentration, thermodynamic parameter 중 DFN 모델이 총 31개의 파라미터, SPMe 모델은 27개, SPM 모델은 17개의 파라미 터를 요구한다는 사실을 보여줍니다[7]. 모델에서 사용되는 파라미터의 수는 모델의 복잡도와 관련이 있으며, 이에 따라 정확도(accuracy)와 계산 효율성(computational efficiency) 사이에 tradeoff가 존재합니다.

 

Figure 4는 리튬이온 배터리 모델을 고에너지(HE, High Energy) 및 고출력(HP, High Power) 배터리 에 대해 다양한 C-rate 조건에서 RMSE (Root Mean Square Error)와 MSS (Magnitude of Simulation Speed)로 비교한 결과를 나타냅니다[7]. MSS는 시뮬레이션 효율성을 백분율로 표현한 지표로, DFN 모델을 기준으로 각 모델의 계산 속도가 얼마나 빠른지 보여주는 지표입니다.

 

 

 

각 모델 별 RMSE와 MSS의 특징을 아래와 같이 해석할 수 있습니다.

 

3.1.  DFN 그룹

• RMSE가 가장 낮아 거의 모든 조건에서 가장 높은 정확도를 나타냅니다.
• MSS가 가장 낮으며, 약 27% - 30% 범위에 해당합니다. 이는 다중 스케일 방정식을 푸는 데 필요한 계산량이 많기 때문입니다.

3.2.  SPMe 그룹

• RMSE는 SPM보다 크게 개선되었으며, 특히 HP 배터리의 높은 C-rate 조건에서도 합리 적인 정확도를 유지합니다.
• MSS는 SPM에 비해 약간 낮으며, 94% - 96% 범위에 해당합니다. 이는 전해질에서의 비선형 전위 및 농도 모델링이 추가되었기 때문입니다.

3.3.  SPM 그룹

• RMSE가 상대적으로 높으며, 특히 높은 C-rate (3C 이상)과 낮은 C-rate (1C 이하)에서는 정확도가 떨어집니다.
• 가장 높은 MSS를 기록하며, 96% - 98% 범위에 해당합니다. 이는 시뮬레이션 속도가 가장 빠르다는 것을 의미합니다.

3.4.  배터리 유형에 따른 해석

• HE 배터리: 두꺼운 전극과 높은 과전압 특성으로 인해 간소화된 모델에 민감하게 반응 합니다. 방전 및 안정화 구간에서 높은 정확도가 요구될 경우, DFN 모델이 적합합니다.
• HP 배터리: 얇은 전극과 높은 전도율 특성으로 인해 C-rate가 3C까지도 간소화된 모델 (특히 SPMe)로 잘 동작합니다. 이 경우, 상대적으로 낮은 RMSE를 보이며, 낮은 C-rate 에서는 SPM 모델도 적합할 수 있습니다.

 

그래프에서 볼 수 있듯이, 각 모델 간에는 정확도와 계산 복잡도의 trade-off가 존재합니다. 과도한 단순화로 인해 SPM은 정확도가 떨어지고, 특히 극단적인 낮은 C-rate 및 높은 C-rate 조건에서 부정확할 수 있습니다. 정확도가 중요한 경우, DFN 모델을 사용하는 것이 적합하며, 계산 효율성이 중요한 경우에는 SPMe 또는 SPM 모델이 적합합니다. 특히 SPMe 모델은 정확도와 계산 효율성 간의 균형을 잘 맞추고 있어, 실시간 BMS에 적합합니다.

 

 

 

4.  응용관점에서 모델 선택 기준

현실적인 응용에서는 배터리 특성과 목표에 따라 적절한 모델을 선택하는 것이 중요합니다. DFN 모델은 높은 정밀도가 요구되는 설계 및 연구 단계에서 큰 장점을 발휘합니다. 이는 복잡한 물리 적 메커니즘을 이해하고 새로운 배터리 소재의 성능을 예측하는 데 유리합니다. 반면, SPM은 상대적으로 계산 요구가 적어 초기 단계에서 단순 평가 및 빠른 설계 반복에 유용합니다. 그러나 SPM은 높은 충전 또는 방전 조건에서 정확도가 제한적이므로 실사용 환경에서는 적합하지 않을 수 있습니다. SPMe은 SPM의 한계를 극복하며, 실시간 배터리 상태 추적 등의 응용에 효과적입니다. BMS와 같은 현실적인 시스템에서는 SPMe이 DFN과 SPM의 균형을 제공하며, 높은 정확도와 낮은 계산 요구를 모두 만족시킬 수 있습니다[8]. 이러한 모델 선택은 사용 가능한 계산 자원, 요 구되는 정확도 수준, 그리고 응용 환경에 따라 결정되어야 합니다. 고출력 응용에서는 SPMe을 사용하되 필요에 따라 DFN 분석을 통해 보완하는 방식이 이상적입니다. 비용 제약이 큰 상용 배터리 개발에서는 SPM이 비용 대비 효율적인 선택이 될 수 있지만, 필수적으로 높은 정확도가 요구된다면 SPMe으로의 전환이 필요합니다. 마지막으로, 응용 목표에 맞추어 모델을 유연하게 변경하거나 통합하는 접근이 가장 실질적이며, 이를 통해 배터리 시스템의 효율성과 안전성을 최적화할 수 있습니다.

 

 

5.  결론

본 보고서에서는 리튬이온 배터리의 DFN, SPMe, SPM 세 가지 주요 모델을 분석하고, 이들 간의 특성과 관계를 체계적으로 비교하여 계산 복잡도와 정확도의 trade-off 관계를 살펴보았습니다. DFN 모델은 높은 정밀도를 제공하여 연구 및 개발에 적합하며, SPM은 속도와 효율성이 중요한 단순 응용에 유리합니다. SPMe 모델은 두 모델의 장점을 결합하여 실시간 상태 추적과 같은 복 잡하고 실용적인 환경에서 효과적으로 활용될 수 있습니다. 모델을 선택할 때는 정확도와 계산 요구 사항의 균형, 그리고 응용 시나리오에 따른 구체적인 필요성을 종합적으로 고려해야 합니 다. 또한, 머신러닝 모델과 다양한 분석 기법(EIS 등) 과의 결합을 통해 더욱 효율적이고 정확한 배터리 상태 진단이 가능합니다.

 

 

 

References

[1] LEE, James L.; CHEMISTRUCK, Andrew; PLETT, Gregory L. One-dimensional physics-based reduced-order model of lithium-ion dynamics. Journal of Power Sources, 2012, 220: 430-448.

[2] BROSA PLANELLA, Ferran, et al. A continuum of physics-based lithium-ion battery models reviewed. Progress in Energy, 2022, 4.4: 042003.
[3] JOKAR, Ali, et al. Review of simplified Pseudo-two-Dimensional models of lithium-ion batteries. Journal of Power Sources, 2016, 327: 44-55.

[4] LUO, Weilin, et al. A new extension of physics-based single particle model for higher charge–discharge rates. Journal of Power Sources, 2013, 241: 295-310.

[5] RAHIMIAN, Saeed Khaleghi; RAYMAN, Sean; WHITE, Ralph E. Extension of physics-based single particle model for higher charge–discharge rates. Journal of Power Sources, 2013, 224: 180-194.

[6] ZHANG, Dong; POPOV, Branko N.; WHITE, Ralph E. Modeling lithium intercalation of a single spinel particle under potentiodynamic control. Journal of the Electrochemical Society, 2000, 147.3: 831.

[7] ALI, Haider Adel Ali, et al. A comparison between physics-based Li-ion battery models. Electrochimica Acta, 2024, 493: 144360.

[8] FULLER, Thomas F.; DOYLE, Marc; NEWMAN, John. Simulation and optimization of the dual lithium ion insertion cell. Journal of the electrochemical society, 1994, 141.1: 1.